一、隨機(jī)變量的概念
    前一章建立了隨機(jī)事件及其概率的概念。我們發(fā)現(xiàn)有些試驗(yàn)的結(jié)果，直接表現(xiàn)為數(shù)量。比如，在抽樣檢驗(yàn)產(chǎn)品中，出現(xiàn)廢品的個(gè)數(shù)；在供電問(wèn)題中，人們關(guān)心的是在某段事件內(nèi)，同時(shí)工作的車(chē)床數(shù)目；射擊時(shí)彈著點(diǎn)與目標(biāo)的距離等。盡管有些試驗(yàn)的結(jié)果沒(méi)有直接表現(xiàn)為數(shù)字，但我們?nèi)匀豢梢杂脭?shù)字來(lái)表示它。比如，一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)成功記為1，試驗(yàn)失敗記為0；產(chǎn)品檢驗(yàn)中，優(yōu)質(zhì)品記為2，次品記為1，廢品記為0等等。由此可見(jiàn)，對(duì)于任何一個(gè)試驗(yàn)的各種基本結(jié)果，都可以用數(shù)量與之對(duì)應(yīng)。
    盡管由于隨機(jī)因素的作用，試驗(yàn)的結(jié)果有多種可能性，但是對(duì)于試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果ω，都可以用一個(gè)實(shí)數(shù)x(ω)來(lái)表征:試驗(yàn)的結(jié)果不同,x(ω)可能取不同值,因而是一個(gè)變量,故x(ω)是試驗(yàn)結(jié)果的函數(shù).我們稱(chēng)這種變量x(ω)為隨機(jī)變量,簡(jiǎn)記為x.
    隨機(jī)變量作為樣本點(diǎn)的函數(shù)，有兩個(gè)基本特點(diǎn)，一是變異性：對(duì)于不同的試驗(yàn)結(jié)果，它可能取不同的值，因此是變量而不是常量；二是隨機(jī)性：由于試驗(yàn)中究竟出現(xiàn)哪種結(jié)果是隨機(jī)的，因此該變量究竟取何值是在試驗(yàn)之前，事先無(wú)法確定的，直觀上，隨機(jī)變量就是取值具有隨機(jī)性的變量。
    根據(jù)取值情況隨機(jī)變量可以分為兩大類(lèi)：離散型和非離散型。離散型隨機(jī)變量的所有可能取值為有限個(gè)或至多無(wú)窮可列個(gè)；非離散型隨機(jī)變量的情況比較復(fù)雜，它的所有可能取值不能夠一一列舉出來(lái)。其中的一種對(duì)于實(shí)際應(yīng)用最重要，稱(chēng)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其值域?yàn)橐粋�(gè)或若干個(gè)有限或無(wú)限區(qū)間。今后我們主要研究離散型和連續(xù)型兩種隨機(jī)變量。
二、離散型隨機(jī)變量的概率分布
    定義2.1：如果隨機(jī)變量x只可能取有限個(gè)或至多可列個(gè)值，則稱(chēng)x為離散型隨機(jī)變量。
    定義2.2：設(shè)x為離散型隨機(jī)變量，它的一切可能取值為x1，x2，……，xn，……，記
                   p=p｛x=xn｝,n=1,2……(2.1)  
    稱(chēng)(2.1)式為x的概率函數(shù)，又稱(chēng)為x的概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)分布。
    離散型隨機(jī)變量的概率分布有兩條基本性質(zhì)：
    (1)pn≥0    n=1,2,…
    (2)∑pn=1
    對(duì)于集合｛xn,n=1,2,……｝中的任何一個(gè)子集a,事件“x在a中取值”即“x∈a”的概率為
     p｛x∈a｝=∑pn
    特別的，如果一個(gè)試驗(yàn)所包含的事件只有兩個(gè)，其概率分布為
    p｛x=x1｝=p(0<p<1)
    p｛x=x2｝=1-p=q
    這種分布稱(chēng)為兩點(diǎn)分布。 如果x1=1,x2=0,有
    p｛x=1｝=p
    p｛x=0｝=q
    這時(shí)稱(chēng)x服從參數(shù)為p的0-1分布，它是離散型隨機(jī)變量分布中最簡(jiǎn)單的一種。由于是數(shù)學(xué)家伯努利最先研究發(fā)現(xiàn)的，為了紀(jì)念他，我們也把服從這種分布的試驗(yàn)叫伯努利試驗(yàn)。習(xí)慣上，把伯努利的一種結(jié)果稱(chēng)為“成功”，另一種稱(chēng)為“失敗”。
三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度
    定義2.3  對(duì)于隨機(jī)變量x，如果存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)f(x),-∞<x<+∞，使對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b(a<b)都有
    p｛a<x<b｝=f(x)在a,b區(qū)域內(nèi)的定積分   (由于排版水平過(guò)于低下，只有這樣了，^o^)
    則稱(chēng)x為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱(chēng)f(x)為x的概率分布密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度或分布密度，簡(jiǎn)記為x～f(x).
    (1)f(x)≥0，對(duì)任何x∈(-∞，+∞)
    (2)f(x)在(-∞，+∞)的區(qū)間內(nèi)積分為1.
    定義2.4  如果連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率密度f(wàn)(x)為
       ①1/(b-a)      a≤x≤b
       ②0            其他
    則稱(chēng)x服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布。
    由定義可以看出服從均勻分布的隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)在整個(gè)區(qū)間[a,b]上恒等于一個(gè)常數(shù)，并且這個(gè)常數(shù)就是該區(qū)間長(zhǎng)度的倒數(shù)1/(b-a)。均勻分布是連續(xù)型隨機(jī)變量中最簡(jiǎn)單的一種分布，也是常用的重要連續(xù)型分布之一。
四、隨機(jī)變量的分布函數(shù)
    離散型隨機(jī)變量由其一切可能值和它取各個(gè)值的概率來(lái)描繪，連續(xù)型隨機(jī)變量由概率密度函數(shù)來(lái)描繪。離散型和連續(xù)型，是實(shí)際中最重要的兩類(lèi)隨機(jī)變量。但是除這兩類(lèi)隨機(jī)變量外，還存在既不是離散型也不是連續(xù)型的隨機(jī)變量。分布函數(shù)是概率論中重要的研究工具，它可以用于描繪包括離散型和連續(xù)型在內(nèi)的一切類(lèi)型的隨機(jī)變量。

    定義2.5  設(shè)x是任意一個(gè)隨機(jī)變量，稱(chēng)函數(shù)
        f(x)=p｛x<x｝,-∞<x<+∞
    為隨機(jī)變量x的分布函數(shù)。
    f(x)包括下列性質(zhì)：
    1，0≤f(x)≤1  (-∞<x<+∞)；
    2，f(x)是x的單調(diào)不減函數(shù)；
    3，f(-∞)=lim(x→-∞)f(x)=0, f(+∞)=lim(x→+∞)f(x)=1；
    4，f(x)至多有可列個(gè)間斷點(diǎn)，并且在其間斷點(diǎn)處也是右連續(xù)的，即對(duì)于任何實(shí)數(shù)x,
       f(x+0)=f(x) 
五、隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)和分布函數(shù)的聯(lián)系
    1，對(duì)于離散型隨機(jī)變量，p｛x=xn｝=pn,n=1,2,……
       有f(x)=∑pn  (xn≤x)
    2，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，p｛x=xn｝=pn,-∞<n<+∞ 
       有f’(x)=f(x)

注意要點(diǎn)：1，離散型分布和連續(xù)型分布的區(qū)別；
          2，概率密度函數(shù)與分布函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別。