第二節(jié) 因果分析法-1
因果分析法主要包括:
回歸分析法.
彈性系數(shù)分析法.
消費(fèi)系數(shù)法等方法。
回歸分析法是分析相關(guān)因素相互關(guān)系的一種數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，通過建立一個(gè)或一組自變量與相關(guān)隨機(jī)變量的回歸分析模型，來預(yù)測(cè)相關(guān)隨機(jī)變量的未來值�；貧w分析法按分析中自變量的個(gè)數(shù)分為一元回歸與多元回歸；按自變量與因變量的關(guān)系分為線性回歸與非線性回歸。不論是一元回歸模型還是多元回歸模型，預(yù)測(cè)模型的建立要經(jīng)過嚴(yán)格的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，否則模型不能成立。
彈性系數(shù)法是—種相對(duì)簡(jiǎn)單易行的定量預(yù)測(cè)方法，通過計(jì)算某兩個(gè)變量相對(duì)變化彈性關(guān)系，彈性是—個(gè)相對(duì)量，它衡量某—變量的改變所引起的另—變量的相對(duì)變化。
消費(fèi)系數(shù)法是按行業(yè)、部門、地區(qū)、人口、群體等對(duì)某產(chǎn)品的消費(fèi)者進(jìn)行分析，認(rèn)識(shí)和掌握消費(fèi)者與產(chǎn)品的數(shù)量關(guān)系，從而預(yù)測(cè)產(chǎn)品需求量。
一、一元線性回歸
(一)基本公式
如果預(yù)測(cè)對(duì)象與主要影響因素之間存在線性關(guān)系，將預(yù)測(cè)對(duì)象作為因變量y，將主要影響因素作為自變量x，即引起因變量y變化的變量，則它們之間的關(guān)系可以用一元回歸模型表示為如下形式：
y=a+bx+e
其中：a和b是揭示x和y之間關(guān)系的系數(shù)，a為回歸常數(shù)，b為回歸系數(shù)
e是誤差項(xiàng)或稱回歸余項(xiàng)。
對(duì)于每組可以觀察到的變量x，y的數(shù)值xi，yi，滿足下面的關(guān)系：
yi =a+bxi+ei
其中ei是誤差項(xiàng)，是用a+bxi去估計(jì)因變量yi的值而產(chǎn)生的誤差。
在實(shí)際預(yù)測(cè)中，ei是無法預(yù)測(cè)的，回歸預(yù)測(cè)是借助a+bxi得到預(yù)測(cè)對(duì)象的估計(jì)值yi。為了確定a和b，從而揭示變量y與x之間的關(guān)系，公式可以表示為：
y=a+bx
公式y(tǒng)=a+bx是式y(tǒng)=a+bx+e的擬合曲線�？梢岳闷胀ㄗ钚《朔ㄔ�(ols)求出回歸系數(shù)。最小二乘法基本原則是對(duì)于確定的方程，使觀察值對(duì)估算值偏差的平方和最小。由此求得的回歸系數(shù)為：
b=[∑xiyi—x∑yi]/∑xi2—x∑xi
a=y’-bx’
式中：xi、yi分別是自變量x和因變量y的觀察值，x-、y-分別為x和y的平均值.
x-=∑xi/ n
y-= ∑yi/ n
對(duì)于每一個(gè)自變量的數(shù)值，都有擬合值：
yi’=a+bxi
yi’與實(shí)際觀察值的差，便是殘差項(xiàng)
ei=yi一yi’
(二)一元回歸流程
(三)回歸檢驗(yàn)
在利用回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，需要對(duì)回歸系數(shù)、回歸方程進(jìn)行檢驗(yàn)，以判定預(yù)測(cè)模型的合理性和適用性。檢驗(yàn)方法有方差分析、相關(guān)檢驗(yàn)、t檢驗(yàn)、f檢驗(yàn)。 對(duì)于一元回歸，相關(guān)檢驗(yàn)與t檢驗(yàn)、f檢驗(yàn)的效果是等同的，因此，在一般情況下，通過其中一項(xiàng)檢驗(yàn)就可以了。對(duì)于多元回歸分析，t檢驗(yàn)與f檢驗(yàn)的作用卻有很大的差異。
1.方差分析
通過推導(dǎo)，可以得出：
∑(yi—y-)2= ∑(yi—yi’)2+∑(yi—y-)2
其中：
∑(yi’—y-)2=tss，稱為偏差平方和，
反映了n個(gè)y值的分散程度，又稱總變差。
∑(yi—yi’)2=rss,稱為回歸平方和，
反映了x對(duì)y線性影響的大小，又稱可解釋變差。
∑(yi—yi’)2=ess，稱為殘差平方和，
根據(jù)回歸模型的假設(shè)條件，ess是由殘差項(xiàng)e造成的，它反映了除x對(duì)y的線性影響之外的一切使y變化的因素，其中包括x對(duì)y的非線性影響及觀察誤差。因?yàn)樗鼰o法用x來解釋，故又稱未解釋變差。
所以，tss=rss+ess
其實(shí)際意義是總變差等于可解釋變差與未解釋變差之和。
在進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，通常先進(jìn)行方差分析，一方面可以檢驗(yàn)在計(jì)算上有無錯(cuò)誤；另一方面，也可以提供其他檢驗(yàn)所需要的基本數(shù)據(jù)。
定義可決系數(shù)r2，
r2 =rss/tss
r2 的大小表明了y的變化中可以用x來解釋的百分比，因此，r2 是評(píng)價(jià)兩個(gè)變量之間線性關(guān)系強(qiáng)弱的一個(gè)指標(biāo)�？梢詫�(dǎo)出，
r2 = rss/tss=∑(yi—yi’)2 /∑(yi—y-)2
=1- ess/ tss=1-∑(yi—y-)2 /∑(yi—y-)2
2.相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)
相關(guān)系數(shù)是描述兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系的密切程度的數(shù)量指標(biāo)，用r表示。
r在—1和1之間，
當(dāng)r=1時(shí)，變量x和少完全正相關(guān)；
當(dāng)r=-1時(shí)，為完全負(fù)相關(guān)；
當(dāng)0<r<1時(shí)，為正相關(guān)；
當(dāng)-1<r<0時(shí)，為負(fù)相關(guān)。
當(dāng)r=0時(shí)，變量x和y沒有線性關(guān)系。
所以，r的絕對(duì)值越接近1，表明其線性關(guān)系越好；
反之，r的絕對(duì)值越接近0，表明其線性關(guān)系越不好。
只有當(dāng)r的絕對(duì)值大到一定程度時(shí)，才能采用線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。在計(jì)算出r值后，可以查相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)表(見書附表1)。
在自由度n—2(n為樣本個(gè)數(shù))和顯著性水平a(一般取a=0.05)下，
若r大于臨界值，則變量x和y之間的線性關(guān)系成立；
否則，兩個(gè)變量不存在線性關(guān)系。
3.t檢驗(yàn)
即回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，以判定預(yù)測(cè)模型變量x和y之間線性假設(shè)是否合理。因?yàn)橐褂脜?shù)t值，故稱為t檢驗(yàn)�；貧w常數(shù)a是否為0的意義不大，通常只檢驗(yàn)參數(shù)b。
其中：sb是參數(shù)b的標(biāo)準(zhǔn)差，n為樣本個(gè)數(shù)。
s為回歸標(biāo)準(zhǔn)差，
tb服從t分布，可以通過t分布表(見本書附表2)查得顯著性水平為a，自由度為n—2的數(shù)值t(a/2，n—2)。與之比較，若tb的絕對(duì)值大于t，表明回歸系數(shù)顯著性不為0，參數(shù)的t檢驗(yàn)通過，說明變量x和y之間線性假設(shè)合理。若tb的絕對(duì)值小于或等于t，表明回歸系數(shù)為0的可能性較大，參數(shù)的‘檢驗(yàn)未通過，回歸系數(shù)不顯著，說明變量x和y之間線性假設(shè)不合理。
4，f檢驗(yàn)
即回歸方程的顯著性檢驗(yàn)。是利用方差分析，檢驗(yàn)預(yù)測(cè)模型的總體線性關(guān)系的顯著性。
統(tǒng)計(jì)量f服從f分布，可以通過f分布表(見書附表3)，查找顯著性水平為a，自由度為n=1，n=n—2的f值fa(1，n—2)。
將f與fa(1，n—2)比較:
若f大于fa(1，n—2)，則回歸方程較好地反映了變量x和y之間的線性關(guān)系，回歸效果顯著，方程的f檢驗(yàn)通過，意味著預(yù)測(cè)模型從整體上是適用的；
若f小于或等于fa(1，n—2)，說明回歸方程不能很好地反映變量x和y之間的關(guān)系，回歸效果不顯著，方程的f檢驗(yàn)未通過，預(yù)測(cè)模型不能采用。
點(diǎn)預(yù)測(cè)是在給定了自變量的未來值x。后，利用回歸模型(3—8)求出因變量的回歸估計(jì)值yo’。也稱為點(diǎn)估計(jì)。
yo’=a+bxo
通常點(diǎn)估計(jì)的實(shí)際意義并不大，由于現(xiàn)實(shí)情況的變化和各種環(huán)境因素的影響預(yù)測(cè)的實(shí)際值總會(huì)與預(yù)測(cè)值產(chǎn)生或大或小的偏移，如果僅根據(jù)一點(diǎn)的回歸就做出預(yù)測(cè)結(jié)論，則幾乎是荒謬的。因此預(yù)測(cè)不僅要得出點(diǎn)預(yù)測(cè)值，還要得出可能偏離的范圍，才能得到預(yù)測(cè)的可靠程度。于是，以一定的概率1—a預(yù)測(cè)的y在yo，附近變動(dòng)的范圍，稱為區(qū)間預(yù)測(cè)。數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析表明，對(duì)于預(yù)測(cè)值yo’而言，在小樣本統(tǒng)計(jì)下(樣本數(shù)據(jù)組n小
于30時(shí))，置信水平為100(1—a)％的預(yù)測(cè)區(qū)間為：
其中：t(a/2，n—2)可以查檢驗(yàn)表得出。通常取顯著性水平a=0.05。
此外，根據(jù)概率論中的3a原則，可以采取簡(jiǎn)便的預(yù)測(cè)區(qū)間近似解法，當(dāng)樣本n很大時(shí)，在置信度為68.2％，95.4％，99.7％的條件下，預(yù)測(cè)區(qū)間分別為：
(yo，—sy ,y�！�+sy)
(yo，—2sy，yo’+2sy)
(yo，—3sy，yo’+3sy)