數(shù)學分析讀書筆記

　　經(jīng)過一個半學期的《數(shù)學分析》的學習，我基本上對其;下面對我目前已學習的知識進行理解與分析：;一、實數(shù)集與函數(shù);二、極限分為數(shù)列極限和函數(shù)極限;三、函數(shù)的連續(xù)性;四、導數(shù)與微分;五、積分分為兩種：不定積分和定積分;整體內容連貫有序，學習者思路清晰，目的明確;數(shù)學分析是精彩有趣的，但有時會讓人學的很累;(13)《數(shù)學分析》讀書報告;經(jīng)過一個半學期的《數(shù)學分析》的經(jīng)過一個半學期的《數(shù)學分析》的學習，我基本上對其學習方法有了一定的掌握。了解到《數(shù)學分析》與高中的數(shù)學既有聯(lián)系又有差別。一方面在許多思想與分析中運用了高中數(shù)學的基礎知識;另一方面它將許多東西細微化，一步步探究深層次的東西。它使我們對許多東西有了進一步的了解而不是只停留在理解表面。

　　下面對我目前已學習的知識進行理解與分析：

　　一、 實數(shù)集與函數(shù)。實數(shù)分有理數(shù)和無理數(shù)，有理數(shù)可用既約分數(shù)的形式表示，而無理數(shù)則不能用一個確定式表示。人們先發(fā)現(xiàn)有理數(shù)，再運用Dedekind分割劃分出一些不屬于有理數(shù)的數(shù)。全部這些數(shù)的集合就是實數(shù)集。用同樣的方法分割，卻得不到非實數(shù)，這證明了實數(shù)具有完備性。關于實數(shù)完備性有一些基本定理，如：區(qū)間套定理、柯西收斂準則、聚點定理和有限覆蓋定理。對于任何一個包含于實數(shù)集的集合，還有著名的確界原理。函數(shù)的定義是一個具有某種結構的集合到一個數(shù)集的對應關系。有基本函數(shù)和特殊的函數(shù)，如：符號函數(shù)、Heaviside函數(shù)、Riemann函數(shù)和Dirichelet函數(shù)。

　　二、 極限分為數(shù)列極限和函數(shù)極限。對于極限，重在理解它的定義。函數(shù)極限是數(shù)列極限的推廣，所以理解了數(shù)列極限，函數(shù)極限問題就不大了。收斂的數(shù)列有許多特殊性質，如:有界性、唯一性、保號保序性和迫斂性，且滿足線性組合運算。既然有這么多很好的性質，我們就想弄清哪些數(shù)列收斂或收斂數(shù)列需滿足的條件。人們發(fā)現(xiàn)，單調有界數(shù)列和滿足柯西收斂準則的數(shù)列一定有極限。

　　三、 函數(shù)的連續(xù)性。函數(shù)在某一點X。連續(xù)的定義是在X。的某鄰域內有定義且滿足當X趨于X。時，函數(shù)F(X)趨于F(X。).而在某區(qū)間上的連續(xù)可由在某點推廣。對一閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)有一些性質，如：有界性、最值、介值性和一致連續(xù)性。對于函數(shù)連續(xù)性，重在理解定義的內容。

　　四、 導數(shù)與微分。導數(shù)在中學已學過，而微分是一個新概念。微分的核心思想是對一件事物，當對整體無法解決或難以解決時，可以將它分成許多細小的部分來解決。當每一部分都解決了時，整體也就解決了。對于微分的應用有羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理以及泰勒公式。運用這些定理，還可以分析函數(shù)性質，如：函數(shù)是否有凸性和拐點，這些對作圖是有幫助的。

　　五、 積分分為兩種：不定積分和定積分。不定積分是微分的逆運算，它的核心思想是將許多無法解決或難以解決的事物積累成一個整體來解決。不定積分的運算有一些方法，如：換元法和分部積分法。與不定積分不同，定積分則是一個分割T的模趨于零的極限。對一個閉區(qū)間上的函數(shù)作劃分，求出黎曼和，當分割的模趨于零時，黎曼和趨于一個常數(shù)，此時稱這個常數(shù)為函數(shù)在閉區(qū)間上的定積分。定積分的運算可運用牛頓—萊布尼茨公式。哪些函數(shù)是可積的，可積函數(shù)有哪些性質。人們發(fā)現(xiàn)了可積函數(shù)需滿足的條件和它的一些性質，如：積分中值定理。

　　整體內容連貫有序，學習者思路清晰，目的明確。

　　數(shù)學分析是精彩有趣的，但有時會讓人學的很累。當一個概念或思想沒有理解時，在很大層度上阻礙了后面內容的學習理解，讓人有霧里探花的感覺。所以應腳踏實地的學好每一步，扎穩(wěn)基礎，相信未來的道路是光明的。

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