自然科學(xué)論文選讀
每個(gè)形式體系，每個(gè)規(guī)則系統(tǒng)里都有某種戲法。猶太教法典甚至希伯萊神秘教義的有些東西看起來(lái)對(duì)智力沒(méi)有什么益處，它們是符合某種語(yǔ)法規(guī)則的烹飪配方法的龐大集子，有的或許還有點(diǎn)想象力，有的就玄妙莫測(cè)，反正是相當(dāng)隨心所欲的。但許多世紀(jì)以來(lái)，千萬(wàn)個(gè)學(xué)者對(duì)這些著作進(jìn)行了鉆研、記錄、分析和歸類，這些工作可能就鍛煉了人們的記憶力和推理能力。正像磨刀石可以磨刀一樣，大腦可以在思考對(duì)象之鈍物上磨礪得敏銳起來(lái)，各種方式的勤奮思索都有它的價(jià)值。
數(shù)學(xué)上有許多命題，就像那個(gè)叫做“費(fèi)馬大定理”的，似乎很特殊，與數(shù)論的主體無(wú)關(guān)。它們陳述起來(lái)很簡(jiǎn)單，卻使得那些最了不起的天才想要證明它們的全部努力都付諸東流。這些命題激發(fā)了青年人才（包括我本人）去思考更為一般的問(wèn)題。就費(fèi)馬問(wèn)題來(lái)說(shuō)，由于它本身的專門和自成一脈，在數(shù)學(xué)發(fā)展最近三個(gè)世紀(jì)里已經(jīng)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)思想上頗有生命力的新概念的創(chuàng)立。尤其是代數(shù)結(jié)構(gòu)中的所謂理想理論。數(shù)學(xué)史上有一系列這樣的創(chuàng)造。
可以創(chuàng)造一般的空間概念。它無(wú)疑是我們感覺(jué)到的物質(zhì)空間的抽象，但既不完全受其規(guī)律支配，也非惟一地為其映象；它可以推廣到n大于三的n維甚至直到無(wú)限多維空間；它至少作為一種語(yǔ)言在描述物理自身的基礎(chǔ)上極為有效——這些都是人腦的能力所創(chuàng)造的奇跡嗎？還是物質(zhì)現(xiàn)實(shí)的本性所展現(xiàn)的呢？無(wú)限有著不同的等級(jí)和種類這一點(diǎn)究竟是發(fā)明還是“發(fā)現(xiàn)”，這對(duì)于敏感善思的頭腦不僅有哲學(xué)上的影響而且不止于此，還有顯著的心理學(xué)影響。
說(shuō)到數(shù)學(xué)當(dāng)然還有其他科學(xué)——特別是物理——的奇異的魅力和神秘的吸引力，不妨注意一下經(jīng)常發(fā)生的一種現(xiàn)象，即下象棋的水平不高的棋手甚至普通新手走出了很有深度的妙局。我經(jīng)常注意不熟練的或棋藝平常的初學(xué)者。在約莫15步以后看他們的盤面就常常會(huì)發(fā)現(xiàn)雙方都有許多妙著可走，這大概總是出于偶然而不是事先構(gòu)想好的。我就奇怪，撇開(kāi)那甚至尚未看出這些妙著的幼稚棋手不談，從這盤棋本身來(lái)說(shuō)是怎么一步步走到這樣極富藝術(shù)性和耐人尋味的局面的。我不知道“走”的游戲里是否也會(huì)有類似的情況。雖然由于對(duì)這種絕妙的游戲的門道我本人知之不多而無(wú)法判斷，但我很想知道，一個(gè)內(nèi)行面對(duì)游戲的一個(gè)局面是否就說(shuō)得出這是偶然造成的還是那巧妙游戲的正常的合乎邏輯的發(fā)展。 在科學(xué)上，特別是數(shù)學(xué)上，某些算法似乎有類似的奇妙而有趣的現(xiàn)象。它們自身似乎有逐步展開(kāi)的能力，就像求解問(wèn)題的過(guò)程和觀點(diǎn)的逐步發(fā)展形成，開(kāi)始看來(lái)只是為特定目的而設(shè)計(jì)的工具會(huì)有一些預(yù)想不到、出乎意外的新用途。
順便說(shuō)起，我想起一個(gè)我不知道如何解答的小小哲學(xué)難題：假定有一種單人或兩人玩的紙牌游戲過(guò)程中，玩牌者可以作弊一到二次。例如在坎菲爾德紙牌游戲里，如果有一次而且僅有一次，將牌面改換一二張牌，游戲或者說(shuō)對(duì)策并沒(méi)有被破壞。它還是一場(chǎng)數(shù)學(xué)意義上嚴(yán)格、完整的紙牌對(duì)策，不過(guò)是另一種紙牌對(duì)策而已，只是內(nèi)容變得更豐富一點(diǎn)、更一般化。但要是取一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)，一個(gè)公理系統(tǒng)并允許加入一二條錯(cuò)誤的命題，結(jié)果馬上就會(huì)是胡說(shuō)八道，因?yàn)橹灰幸粭l假命題，就會(huì)要什么結(jié)果就推得出什么結(jié)果。這兩者的區(qū)別在哪里？也許在于事實(shí)上只有游戲可以允許某一類的舉動(dòng)，而數(shù)學(xué)上一旦引入一條錯(cuò)誤命題就會(huì)馬上得出“零等于一”這樣的命題。因此必定有方法可以把數(shù)學(xué)對(duì)策加以推廣，使得可以犯一些錯(cuò)誤但不會(huì)得出絕對(duì)的胡說(shuō)，而只是得到一個(gè)更廣的系統(tǒng)。