卷五百七 列傳二百九十四

　　曾紀(jì)鴻，字栗誠(chéng)，大學(xué)士國(guó)藩少子。恩賞舉人。早卒。紀(jì)鴻少年好學(xué)，與兄紀(jì)澤并精算術(shù)，尤神明於西人代數(shù)術(shù)。銳思勇進(jìn)，創(chuàng)立新法，同輩多心折焉。謂大衍求一術(shù)亦可以代數(shù)推求，依題演之，理正相通，撰對(duì)數(shù)詳解五卷，始明代數(shù)之理，為不知代數(shù)者開(kāi)其先路。中言對(duì)數(shù)之理，末言對(duì)數(shù)之用，明作書(shū)之本意。其於常對(duì)、訥對(duì)，辨析分明。先求得各真數(shù)之訥對(duì)，復(fù)以對(duì)數(shù)根乘之，即為常對(duì)數(shù)。級(jí)數(shù)朗然，有條不紊，雖初學(xué)循序漸進(jìn)，無(wú)不可相說(shuō)以解焉。

　　夏鸞翔，字紫笙，錢塘人。以輸餉議敘，得詹事府主簿。為項(xiàng)梅侶入室弟子。講究曲線諸術(shù)，洞悉員出于方之理。匯通各法，推演以盡其變，譔洞方術(shù)圖解二卷，自序略曰：“自杜氏術(shù)出，而求弦矢得捷徑焉。顧猶煩乘除，演算終不易，思一可省乘除之法而迄未得。丁巳夏，客都門，細(xì)思連比例術(shù)者，尖堆底也。尖堆底之比例，與諸乘方之比例等。以之求連比例術(shù)，必合諸乘方積而并求之。設(shè)不得諸乘方積遞差之故，方積何能并求？且并求方積而欲以加減代乘除，又必得諸較自然之?dāng)?shù)而后可，誠(chéng)極難矣。既而悟曰，方積之遞加，加以較也。較之遞生，生於三角堆也。較加較而成積，亦較加較而成較。且諸乘方積之?dāng)?shù)與諸乘尖堆之?dāng)?shù)，數(shù)異而理同。三角堆起於三角形，故屢次增乘，皆增以三角。方積起於正方形，故累次增乘，皆增以正方。三角之較數(shù)，增一根則增一較；方積之較數(shù)，增一乘則增一較，理正同也。累次相較，較必有盡，惟其有盡，乃可入算。相連諸弦矢所以愈相較而較愈均者，正此理矣。諸較之理，皆起於天元一，而生於根差。遞加根一，諸乘方根差皆一。一乘之?dāng)?shù)不變，故可省乘。若增其根差，非復(fù)單一，則乘不能省。弦矢弧背之差，或一秒，或十秒，即以一秒、十秒弧線當(dāng)根差，按根遞求，即可盡得諸乘方之較。以較加較，即盡得所求弦矢各數(shù)矣，豈不捷哉！爰演為求弦矢術(shù)，俾求表者得以加減代乘除。并細(xì)繹立術(shù)之義，以俟精於術(shù)數(shù)者采擇。”

　　又譔致曲術(shù)一卷，曰平員，曰橢員，曰拋物線，曰雙曲線，曰擺線，曰對(duì)數(shù)曲線，曰螺線，凡七類。類皆自定新術(shù)，參差并列，法密理精。復(fù)著致曲圖解一卷，謂天為大員，天之賦物，莫不以員。顧員雖一名，形乃萬(wàn)類。循員一匝，而曲線生焉。西人以線所生之次數(shù)分為諸類，一次式為直線；二次式有平員、橢員、拋物線、雙曲線四式；三次式有八十種；四次式有五千馀種；五次以上，殆難以數(shù)計(jì)矣。今但二次式四種，溯其本源，并附解諸乘方。拋物線形雖萬(wàn)殊，理實(shí)一貫。諸曲線式備具於員錐體，員錐者，二次曲線之母也。橢員利用聚，拋物線利用遠(yuǎn)，雙曲線利用散，其理皆出於平員。茍會(huì)其通，則制器尚象，仰觀俯察，為用無(wú)窮矣。今為一一解之，其目為諸曲線始於一點(diǎn)終於一點(diǎn)第一，諸式之心第二，準(zhǔn)線第三，規(guī)線第四，橫直二徑第五，兌徑亦名相屬二徑第六，兩心差第七，法線切線第八，斜規(guī)線又名曲率徑第九，縱橫線式第十，諸式互為比例第十一，八線第十二。

　　又嘗立捷術(shù)以開(kāi)各乘方，不論益積、翻積，通為一術(shù)，俱為坦途，可徑求平方根數(shù)十位，成少?gòu)V縋鑿一卷。

　　鸞翔同治三年卒。因方積之較而悟求求弦矢之術(shù)，骎骎乎駕西人而上之，然微分所棄之常數(shù)，猶方積之方與隅也。所求之變數(shù)，猶兩廉遞加之較也。其術(shù)施之曲線，無(wú)所不通，鸞翔猶待逐類立術(shù)，是則不能不讓西人以獨(dú)步。然西法開(kāi)方，自三次式以上，皆枝枝節(jié)節(jié)為之，不及中法之一貫。鸞翔又於中法外獨(dú)創(chuàng)捷術(shù)，非西人所能望其項(xiàng)背云。

　　鄒伯奇，字特夫，南海諸生。聰敏絕世，覃思聲音文字度數(shù)之源。尤精天文歷算，能薈萃中、西之說(shuō)而貫通之，靜極生明，多具神解。嘗作春秋經(jīng)傳日月考，謂：“昔人考春秋者多矣，類以經(jīng)、傳日月求之，未能精確。今以時(shí)憲術(shù)上推二百四十二年之朔閏及食限，然后以經(jīng)、傳所書(shū)，質(zhì)其合否，乃知有經(jīng)誤、傳誤及術(shù)誤之分�！庇种^：“尚書(shū)克殷年月，鄭玄據(jù)乾鑿度，以入戊午蔀四十二年克殷，下至春秋，凡三百四十八年。劉歆三統(tǒng)術(shù)以為積四百年，近人錢塘李銳皆主其說(shuō)。今以時(shí)憲術(shù)上推，且以歲星驗(yàn)之，始知鄭是劉非�！逼浣饷献印坝芍芏鴣�(lái)，七百有馀歲”句，謂閻百詩(shī)孟子生卒年月考據(jù)大事記及通鑒綱目，以孟子致為臣而歸在周赧王元年丁未，逆數(shù)至武王有天下，歲在己卯，當(dāng)?shù)冒税儆芯拍�。然周共和以上年�?shù)，史遷已不能紀(jì)，可考者魯世家耳，此為劉歆歷譜所據(jù)。然將歆譜與史記比對(duì)，歆於煬公、獻(xiàn)公等年分多所加，共計(jì)五十二。若減其所加，則歆所謂八百有九年者，實(shí)七百五十七年耳。